热传导方程的 Cauchy 问题：偏微分方程学习笔记

本文整理热传导方程Cauchy问题的解法与性质，作为偏微分方程与数学物理方程的学习笔记，持续更新。 ## 3 热传导方程 ### 3.1 热传导方程的 Cauchy 问题 #### 3.1.1 齐次热传导方程的 Cauchy 问题 一维齐次热传导方程的Cauchy问题是 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &u_{t}-a^{2} u_{x x}=0, \quad-\infty0 \\\\ &\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad-\infty 性质 3.1 设$ u(x,t) $是（1）的解, 则对任意的$ y\in R$，$u(x-y, t)$ 也是（1）的解。 > 性质 3.2 设$ u(x,t) $是（1）的解, 则它的各阶导数也是（1）的解。 > 性质 3.3 设$ S(x,t) $是（1）的解，则对任意连续函数$ g(y) $ $$ v(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} S(x-y, t) g(y) \mathrm{d} y $$ 也是（1）的解。 理由： $$V_{\varepsilon}=\int_{-\infty}^{\infty} S_{\varepsilon}(x-y, t) g(y)\to g(x) \qquad \varepsilon\to 0 $$ > 性质 3.4 设$ u(x,t) $是（1）的解，则对任意的$ \lambda>0,$ $u\left(\lambda x, \lambda^{2} t\right)$ 也是（1）的解。 理由： $u$是（1）的解，寻找$v(x,t)=\lambda{\alpha}u(\lambda{\beta}x，\lambda{\gamma}t)$是（1）的解 $$v_t=\lambda{\alpha+\gamma}u_t,u_x=\lambda{\alpha+\beta}u_x，u_{xx}=\lambda{\alpha+2\beta}u_x$$ $$0=v_t-a^{2}v_{xx}=\lambda{\alpha+\gamma}u_t-a^{2}\lambda{\alpha+2\beta}u_{xx}$$ 取$$\gamma=2\beta，\lambda=\frac{1}{\sqrt{t}}，v(x, t)=u(\lambda x，\lambda^{2}t)=u({\frac{x}{\sqrt{t}}})=u(\xi)，\xi={\frac{x}{\sqrt{t}}}$$ 空间变量、时间变量做伸缩变换（尺度不一） $$0=v_t-a^{2}v_{xx}=2xt^{-\frac{3}{2}}- a^2 u^{\prime \prime} t^{-1}$$ 化简有 $$u^{\prime \prime}+\frac{1}{2 a^{2}} \xi u^{\prime}=0$$ $$u(\xi)=c_{1} \int_{0}^{\xi} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4 a^{2}} \eta^{2}} d \eta+c_{2}$$ 其中$ c_1 $, $ c_2 $是两个积分常数。 进而 $$u(x,t)=c_{1} \int_{0}^{\frac{x}{\sqrt{t}}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4 a^{2}} \eta^{2}} d \eta+c_{2}$$ $$S(x, t)=\frac{\partial}{\partial x} v(x, t)=\frac{c_{1}}{\sqrt{t}} e^{-\frac{x^{2}}{4 a^{2} t}}$$ 由性质3.3知对任意连续函数$g(y)$, $$v(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} S(x-y, t) g(y) \mathrm{d} y=\frac{c_{1}}{\sqrt{t}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 a^{2} t}} g(y) \mathrm{d} y$$ 也是（1）的解 求出$c_1$使其满足初始条件，即 $$\lim_{t \rightarrow 0^{+}}\frac{c_{1}}{\sqrt{t}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 a^{2} t}} g(y) \mathrm{d} y = \varphi(y)$$ 作变换$y-x=2a \sqrt{t} \xi$，有 $$\lim_{t \rightarrow 0^{+}}\frac{c_{1}}{\sqrt{t}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{4 a^{2} t}} g(x+2a \sqrt{t} \xi) 2a{\sqrt{t}} \mathrm{d} \xi = 2ac_1\lim_{t \rightarrow 0^{+}}\frac{c_{1}}{\sqrt{t}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\xi^{2}} g(x+2a \sqrt{t}\xi) \mathrm{d} \xi \\\\ =2ac_1g(x)\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{-\xi^{2}} \mathrm{d} \xi=2a{\sqrt{\pi}}c_1g(x)=\varphi(x)$$ 第二个等号成立的条件：$g$连续且一致有界$\Rightarrow$一致收敛（反常积分）$\Rightarrow$t的连续函数 取$c_1=\frac{\varphi(x)}{2a{\sqrt{\pi}}g(x)}$，代入有 $$u(x,t)=\frac{1}{2a{\sqrt{\pi t}}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 a^{2} t}} \varphi(y) \mathrm{d} y$$ 称上式为Cauchy问题的Possion公式 记 $$G(x, t)=\begin{cases} \frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{4 a^{2} t}} & t>0 \\\\ 0 & t<0 \end{cases} $$ 则有 $$u(x, t)="\int_{-\infty}^{\infty}" g(x-y, \varphi(y) \mathrm{d} y$$ 称由上式确定的函数称为热核函数 下证$u(x,t)="\int_{-\infty}^{\infty}" g(x-y,t) y$是如下cauchy问题的解： \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &u_{t}-a^{2} u_{x x}="0," \quad-\infty0 \\\\ &\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad-\infty0, x \in I_{\delta}; \varphi(x) \equiv 0, x \notin I_{\delta}$$ 当$ t \geq 0$时，$$u(x, t)=\int_{-\infty}^{\infty} G(x-y, t) \varphi(y) \mathrm{d} y>0$$ 说明热量瞬间传播到杆上的每一点，热的传播速度是无限的 #### 3.1.2 非齐次热传导方程的 Cauchy 问题 一维非齐次热传导方程的Cauchy问题是 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &u_{t}-a^{2} u_{x x}=f(x,t), \quad-\infty0 \\\\ &\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad-\infty0 \\\\ &\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad-\infty0 \\\\ &\left.u\right|_{t=0}=0, \quad-\infty引理3.1（齐次化原理）若函数$w(x,t,\tau)$是Cauchy问题 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &w_{t}-a^{2} w_{x x}=0, \quad-\infty0 \\\\ &\left.w\right|_{t=0}=f(x,\tau), \quad-\infty0 \\\\ &\left.w\right|_{t^{\prime}=0}=f(x,\tau), \quad-\infty 定理3.1：若$\varphi(x) \in C(-\infty, \infty), f(x, t) \in C((-\infty, \infty) \times(0, \infty))$且均有界，则由Possion公式确定的函数$u(x,t)$是Cauchy问题（2）的解 理由：根据上述推导证明可得。 ### 3.2 热传导方程的混合问题 #### 3.2.1 半直线上热传导方程与热的反射 考虑侧表面绝热的均匀细杆，一端固定，已知初始温度和细杆在固定端点的温度，则杆上的温度分布满足如下混合问题： $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &u_{t}-a^{2} u_{x x}=f(x, t), &0 \lt x \lt \infty, t>0 \\\\ &u(x, 0)=\varphi(x), &0 \leq x \lt \infty \\\\ &u(0, t)=\mu(t), &t \geq 0 \end{aligned} \tag{6} \label{eq:6} \right. \end{equation} $$ 考虑$f(x) \equiv 0，u(t) \equiv 0$的情形 1. Dirlect边界 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &u_{t}-a^{2} u_{x x}=0, &0 \lt x \lt \infty, t>0 \\\\ &u(x, 0)=\varphi(x), &0 \leq x \lt \infty \\\\ &u(0, t)=0, &t \geq 0 \end{aligned} \tag{7} \label{eq:7} \right. \end{equation} $$ 由 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &u_{t}-a^{2} u_{x x}=0, \quad-\infty0 \\\\ &\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x), \quad-\infty0 \\\\ &u(x, 0)=\varphi(x), &0 \leq x \lt \infty \\\\ &u_x(0, t)=0, &t \geq 0 \end{aligned} \tag{9} \label{eq:9} \right. \end{equation} $$ 选取（连续偶函数）： $$\Phi(x)=\begin{cases} \varphi(x) & x \ge 0 \\\\ \varphi(-x) & x \lt 0 \end{cases} $$ 则有： $$u(x, t)=\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 a^{2}t}} \varphi(y) \mathrm{d} y = -\frac{1}{ a \sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{0} \mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 a^{2}t}} {-\varphi(-y)} \mathrm{d} y + \\\\ \frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 a^{2}t}} \varphi(y) \mathrm{d} y =\frac{1}{2 a \sqrt{\pi t}} \int_{0}^{+\infty}\left(\mathrm{e}^{-\frac{(x-y)^{2}}{4 a^{2}}}+e^{-\frac{(x+y)^{2}}{4 a^{2}}}\right) \varphi(y) \mathrm{d} y $$ 为求解问题（6），将边界齐次化，令$v(x,t)=u(x,t)-\mu(t)$ 则 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &v_{t}-a^{2} v_{x x}=f(x,t)-\mu^{\prime}(t)，\\\\ &v(x,0)=\varphi(x)-\mu(0)，\\\\ &v(0,t)=0.\\\\ \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 由叠加原理，上述问题可分解为 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &v_{t}-a^{2} v_{x x}=0，\\\\ &v(x,0)=\varphi(x)-\mu(0)，\\\\ &v(0,t)=0.\\\\ \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 和 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &v_{t}-a^{2} v_{x x}=f(x,t)-\mu^{\prime}(t)，\\\\ &v(x,0)=0，\\\\ &v(0,t)=0.\\\\ \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 若令$v(x,t)=u(x,t)-\mu(t)x$，则可将Newmann边界齐次化 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &u_{t}-a^{2} u_{x x}=f(x,t), \quad-\infty \lt x \lt \infty, t>0 \\\\ &u(x,0)=\varphi(x), \quad 0 \le x \lt \infty \\\\ &u_x(0,t)=\mu(t), \quad 0 \le x \lt \infty \\\\ \end{aligned} \right. \end{equation} $$ #### 3.2.1 有限区间上的热传导方程与分离变量法 在矩形区域$\Omega = {0 \le x \le l，0 \lt t \le T}$上，考虑 $$u_t-a^{2}u_{xx}=f(x,t)，0 \le x \le l，0 \lt t \le T$$ 及初始条件 $$ \left.u\right|_{t=0}=\varphi(x)，0 \le x \le l $$ 和边界条件 $$ u(0,t)=\mu_1(t), u(l,t)=\mu_2(t)，0 \le x \le l $$ 先考虑第二边值问题 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &u_{t}-a^{2} u_{x x}=f(x,t), \quad 0 \lt x \lt l, t>0 \\\\ &u(x,0)=\varphi(x), \quad 0 \le x \le l \\\\ &u_x(0,t)=\mu(t), u_x(0,t)=\mu(t) \\\\ \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 寻找$u(x,t)=X(x)T(t)$形式解 $$X(x)T^{\prime}(t)-a^{2}X^{\prime \prime}(x)T(t)=0$$ 从而 $$\frac{T^{\prime}(t)}{a^{2}T(t)}=\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=\lambda$$ 有 $$T^{\prime}(t)+a^{2}\lambda X^{\prime \prime}(x)T(t)=0$$ 联立 $$ \begin{equation} \left\\{ \begin{aligned} &X^{\prime}(x)+a^{2}\lambda X^{\prime \prime}(x)T(t)=0 \\\\ &X^{\prime}(0)=0, X^{\prime}(l)=0 \\\\ \end{aligned} \right. \end{equation} $$ 情形$1^{\prime}$ $\lambda \lt 0$ $$X(x)=c_1e^{-\sqrt{-\lambda}}+c_2e^{-\sqrt{-\lambda}}，X^{\prime}(x)=\left(-c_1e^{-\sqrt{-\lambda}}+c_2e^{-\sqrt{-\lambda}}\right){-\sqrt{-\lambda}}$$ 代入得$$c_1=c_2=0$$ 情形$2^{\prime}$ $\lambda = 0$ $$X(x)=c_1+c_2x$$ 代入得$c_2 = 0$，$X_0(x) \equiv 1$是上述问题得一个非平凡解 情形$3^{\prime}$ $\lambda \gt 0$ $$X(x)=c_1cos{\sqrt{\lambda}}x+c_2sin{\sqrt{\lambda}}x，X^{\prime}(x)=\left(-c_1sin{\sqrt{\lambda}}x+c_2cos{\sqrt{\lambda}}x\right){\sqrt{\lambda}}$$ 代入得$c_2 = 0$，$c_1 = {\sqrt{\lambda}}sin{\sqrt{\lambda}}l = 0$